Algebra boolearra. logikaren algebra. logika matematiko elementuak

Gaur egungo munduan ditugu gero eta gehiago dira makinak eta tramankulu barietate bat erabiliz. Eta ez hori bakarrik denean literalki gaindiko indarra aplikatzeko beharrezkoa da: mugitu karga goratzeko altuera, dig lubaki luze eta sakona, eta abar Autoak gaur bildu robots, janaria egosi Multivarki eta oinarrizko aritmetika kalkuluak ekoizteko kalkulagailu ... Gero eta maizago esaldia "algebra boolearra" entzuten dugu. Agian denbora egin du gizakien eginkizuna robot eta makina sorreran ez bakarrik matematiko, baina baita ebazteko gaitasuna ulertzeko arazo logikoa.

logika

logika Greziako In - pentsamenduaren sistema agindu bat eman baldintzen arteko harremana sortzen eta oinarritutako hipotesi eta kalkuluak buruzko inferentziak egiteko aukera emango dizu. Sarritan, elkarri galdetzen dugu: "logikoa da" Erantzuna gure hipotesiak baieztatzen edo pentsamenduaren trena kritikatzen. Baina prozesua ez da hor gelditu: hitz egiteko jarraituko dugu.

Batzuetan baldintzak (sarrera) kopurua hain handia da, eta haien arteko erlazioa da hain nahasia eta konplexua dela giza garuna ez da "digeritzen" guztiak aldi berean gai. Bat baino gehiago, hilabete (aste, urtea) bat behar izatea zer gertatzen ari den ulertzeko. Baina bizimodu modernoaren ez du ematen digu denbora tarte horiek erabakiak hartzeko. Eta jotzea ordenagailuen laguntza dugu. Eta hemen da ez dagoela algebra bat eta logika da, bere lege eta propietate. jatorrizko datu guztiak deskargatu ondoren, ordenagailuan harreman guztiak aitortu, kontraesanak kentzeko eta irtenbide bat aurkitzeko aukera ematen dugu.

Matematika eta logika

Famatua Gotfrid Vilgelm Leybnits "logika matematiko", kontzeptua eta horrek zeregin erraza jakintsu zirkulu txiki bat bakarrik ulertu ziren formulatu. Interes berezia norabidea ez zuen eragin, eta XIX logika matematiko gutxi ezagutzen mendearen erdialdera.

komunitate zientifikoan interes handia bertan ingeles Dzhordzh Bul deklaratu bere asmoa matematikaren adar bat ezartzea, erabat ez erabilera praktikoa ez izatea gatazka bat eragin du. badakigu historia bezala, une honetan aktiboki industri produkzioa garatzeko, makina osagarrien mota guztietako garatu dugu, t. E. aurkikuntza zientifiko guztiak orientazio praktikoa izan dute.

Aurrera begira, esango dugu, Boolean algebra bat - munduko gaur matematikaren zati batean erabilitako du. Beraz, zure Argumentu Buhl galdu.

Dzhordzh Bul

egilearen nortasuna arreta berezia merezi du. Nahiz emandako Izan ere, azken jendea hazi zen gure aurrean, oraindik kontuan izan behar da 16 urte John. Buhl hasi duten herriko eskola irakasten, eta 20 urte bere eskola ireki zuen Lincoln. Matematikari primeran masterizatu atzerriko bost hizkuntzatan, eta bere aisialdian, Newton eta Lagrange lanak irakurtzen dute. Eta hori guztia - arrunt bat langile seme on!

1839 urtean Buhl bidalitako bere lehen artikulu zientifiko Cambridgeko Matematika Journal ere. Zientzialari aktibatuta 24 urteko. Boole lana Royal Society kideek beraz interesa, 1844an domina jaso zuen, bere garapenean ekarpena da analisi matematiko. A argitaratutako artikulu gutxi horietan logika matematiko elementu, matematika onartzen gazte Cork konderriko College irakasle kargua hartu deskribatu ziren. Gogoratu oso Boole hezkuntza ez zen.

ideia

Printzipioz, algebra boolearra oso erraza da. Badira adierazpenak (logikoa esamoldeak) dela, matematikaren ikuspegitik batetik, besterik ezin da bi hitzetan definitu: "true" edo "false". Adibidez, udaberrian loratzen zuhaitzak - egia, udan elurra da - gezur bat. matematika edertasuna da, ez dela erabat beharrezkoa zenbakiak soilik erabiltzeko. algebra epaiak For nahiko egokitzeko esanahi berezia duen edozein baieztapen.

Horrela, logika algebran erabil daiteke literalki nonahi: planifikazioa eta idazteko agindua ere, ekitaldi eta ekintzen sekuentzia determinazio buruzko informazio gatazkatsua analisia. Garrantzitsuena - ez dela axola egia edo faltsutasuna adierazpenak nola zehaztu dugu konturatzeko. Bertatik horiek "nola" eta "zergatik" ez ikusi behar. Zer axola Izan adierazpen bat soilik: egia gezurra da.

Jakina, logika algebra dela zeinuak eta sinboloak egokia grabatuko diren funtzio garrantzitsuena programazioa. Eta ikasten - Atzerriko hizkuntza bat ikasteko esan nahi du. Ezer ez da ezinezkoa.

Oinarrizko kontzeptuak eta definizioak

sakonera sartu gabe, aurre dugun terminologia batera. Beraz, algebra boolearra suposatzen du:

• adierazpenak;
• eragiketak logikoa;
• funtzioak eta legeak.

Adierazpenak - edozein baiezko adierazpen hori interpretatu daiteke bi baloratzen. Dute zenbakiak (5> 3) edo formulatu ezagunak hitzak (- ugaztun handiena da elefante) gisa idazten dira. Kasu honetan, esaldia "jirafa lepo ez dela" ere existitzen eskubidea du, bakarrik algebra boolearra definitu zuen bezala, "Gezurra".

adierazpenak Guztiak zalantzarik gabe izan beharko luke, baina oinarrizko edo konposatu izan daitezke. Azken erabilera sorta logikoa. E. algebra adierazpenak epaiak konposatu oinarrizko logika eragiketak Horrez osatzen dute.

Boolearrak algebra eragiketak

Dagoeneko gogoratzen dugu epaiak algebran eragiketa hori - logikoa. Just zenbakiak eragiketa aritmetikoak erabiliz, batuketak, kenketak, edo zenbakiak alderatzeko aljebra gisa, matematiko logika elementu uzten adierazpenak konplexuagoak egiteko, ukatzea edo azken emaitza kalkulatzeko.

Logika formalizatzeko eta soiltasuna adierazi formula, guretzat ezagunak aritmetika arabera eragiketak. Boolearrak algebra ekuazioak propietate egin grabatzeko aukera ematen du eta ezezaguna kalkulatzeko. Logikoa eragiketak dira normalean egia mahai grabatu. Bere elementu definitzeko zutabe eta informatika eragiketa hau da, horiek gauzatu, eta ilara kalkuluen emaitza erakusten.

Oinarrizko ekintza logika

gehien boolearrak algebra operazioetan arruntena ukapena (NOT) dira, eta logikoa ETA eta EDO. Beraz, posible da algebra epaiak urrats guztiak ia deskribatzeko. xehetasunez aztertu ditugu hiru eragiketa bakoitzari.

ukazioa (ez) den elementu bat bakarrik (eragigai) aplikatu. Beraz, eragiketa unario ukapena deritzo. "Ez A" erabiliz, hala nola sinboloak kontzeptua grabatzeko: ¬A, edo A !. taula forma itxura hau atsegin:

ukatzea adierazpen bat, hala nola tipikoa funtzioa: A egiazkoa bada, orduan A - faltsua. Adibidez, ilargia Lurraren inguruan Lazkoz - egia; Gezurra - Lurraren ilargia inguruan.

Logikoa biderketak eta gainera

Logikoa ETA eragiketa batera deritzo. Zer esan nahi du? Batetik, duela bi eragigaiak aplika daiteke, hau da, I - .. Binary eragiketa. Bigarrenik, soilik bi eragigaiak (bai A eta B) egiaren kasuan da egia eta adierazpen bera. esaera, "Pazientzia eta ahalegin txiki bat" dakar faktoreak soilik bi pertsona batek aurre egiteko zailtasunak dituzten laguntzeko.

A∧B, A⋅B edo A && B.: sinboloak grabatzeko erabiltzen dira

Juntagailua aritmetika ere biderketak antzekoa da. Batzuetan, eta esan - biderketa logikoa. mahai ilara elementu biderkatu baduzu, pentsamendu logikoa antzeko emaitza bat lortuko dugu.

Disjuntzioa logikoa OR eragiketa da. Egia da, gutxienez esaldietako Egia (bai A edo B) bada. A∨B, A + B edo || B. A: It atsegin honetan idatzita dagoen egia eragiketa hauek egiteko mahai daude:

Disjuntzioa antzeko Horrez aritmetika. 1 + 1 = 1: logikoa Horrez eragiketa murrizketa bakarra du. Baina gogoan ditugun formatu digitalean batean dago logika matematiko 0 eta 1 mugatuta (non 1 - egia, 0 - faltsua). Adibidez, adierazpena "museoan maisu bat ikusi ahal izango duzu, edo konpainia on bat aurkitu" esan zer artelan ikusi ahal izango duzu, eta posible da pertsona interesgarri bat betetzeko. Aldi berean, ez araua bi ekitaldi betetzea aldibereko aukera.

Funtzioak eta legeak

Beraz, badakigu zer logikoa eragiketa algebra boolearra erabiliz. Funtzioak logika matematiko elementu propietate guztiak deskribatzeko, eta utz konplexua adierazpenak konposatu errazteko digu. Gehien argi eta erraza badirudi gaitzespena eratorriak eragiketak jabetza. By eratorriak ulertu XOR, inplikazioa eta baliokidetza. oinarrizko eragiketak bakarrik egiten dugu irakurri ahala, eta, ondoren, jabetza da, halaber, bakarrik kontuan hartu ditu.

Elkartzea esan nahi du, hala nola, adierazpenak ere "bai A eta B, eta B 'sekuentzia eragigaien zerrenda ez du axola. formula honako hau idatzita dago:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Ikusten duzun bezala, hau ez da batera baina disjuntzioa bat berezia.

Trukakortasuna argudiatzen batera edo disjuntzioa emaitza horrek ez du araberakoa bertan elementu zen hasiera-hasieratik kontuan:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity ahalbidetzen ezagutzera esamoldeak logikoa konplexua parentesi. Arauak irekitzea biderketak eta gainera algebra ere parentesi antzekoak dira:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unitate propietate eta scratch, zein izan daiteke eragigai bat ere egin aljebraiko ugaltzea zero edo bat, eta unitate baten gain by antzekoak dira:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency kontatzen digu nahiko bi eragigaiak berdinak Eragiketaren emaitza berdina bada, dezakezu "bota" gehiegizko zaildu arrazoibide eragigaiak. Eta batera eta disjuntzioa eragiketak idempotent dira.

B∧B = B; B∨B = B.

Eskuratzea ere ahalbidetzen ekuazioa errazteko digu. Absorption dio denean adierazpena da eragigai bat aplikatuta, emaitza eragigai elementu bereko eragiketa bat eragiketa xurgatzeko da.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

eragiketak sekuentzia

eragiketak sekuentzia garrantzi handikoa da. Egia esan, algebra dagoen bezala, ez algebra boolearra bat erabiltzen duen lehentasuna funtzio bat da. Formulak sinplifikatu daitekeen bakarra eragiketak garrantzia gaia. gehien arbuiagarria den esanguratsua rankinga, honako sekuentzia lortu dugu:

1. ukazioa.

2. Conjunction.

3. disjuntzioa The, XOR.

4. inplikazioa, baliokidetza.

Ikusten duzun bezala, batera etorri ukapena bakarrik eta ez dute lehentasuna berdinak. disjuntzioa eta XOR lehentasuna A berdinak, baita inplikazioa eta baliokidetza lehentasunetako dira.

inplikazioa eta baliokidetza funtzioak

esan dugun bezala, oinarrizko eragiketak logikoa, logika matematiko eta algoritmoak eratorriak erabiliz teoria gain. gehienetan inplikazioa eta baliokidetza da.

Inplikazioa edo ondorio logikoa - adierazpen hau, eta bertan, ekintza bat baldintza bat da, eta beste - bere ezartzeko emaitza. Bestela esanda, proposamen honen "bada ... orduan" aitzakia batekin. "Afalondoan Juicio dator." E. gidatzeko For to the sled muino gainean estutu. Han bada behera menditik, eta arrastatu sled nahia ez da, ez da beharrezkoa. idatzita dagoen beraz: A → B edo A⇒B.

Baliokidetza dakar ondorio garbia gertatzen denean bakarrik bi eragigaiak egia. Adibidez, gau eta egun modurik gero (eta soilik ondoren) ematen du, eguzkia zeruertzean igotzen denean. adierazpen hau logika matematiko hizkuntzan A≡B, A⇔B, == B. A gisa idatzia

Beste algebra boolearra legeak

Aljebra epaia garatzen da, eta interesa duten zientzialari askok lege berriak formulatu. The ospetsuena hartzen diren postulatuak Eskoziako matematikari O. De Morgan. nabaritu zuen, eta ukazio hurbil, batuketak eta ezezko bikoitza ezaugarri horien definizio bat eman.

Itxi ukatzea iradokitzen parentesi da aurretik ukatuz: Ez (A edo B) = ez A edo B. EZ

Noiz eragigai ukatu da, bere balioa kontuan hartu gabe, gainera buruz esan:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Eta, azkenik, ukazio bikoitza bera konpentsatzen. ie bai eragigai ukapena desagertzen aurretik edo jarraitzen duen bakarra.

Nola probak konpontzeko

Logika sinplifikazio aurretik zehaztutako ekuazioak dakar. Just like Lie algebran, ezinbestekoa da lehen baldintza den Gehienez errazteko (to korapilatsu sarrerako eragiketak kentzeko, eta haiekin), orduan hasiko erantzun zuzena bat bilatzen.

Zer errazteko egin? Bihurtu eratorriak guztien eragiketa sinple batean. Ondoren desestaltzen parentesi guztia (edo alderantziz, parentesi egiteko elementu honen murrizteko). Hurrengo pausoa boolearrak algebra praktikan propietate erabili izan behar du (xurgatzeko ezaugarri zero eta bat, eta t.).

Azken finean, ekuazioa Ezezagunak kopuru minimo bat, eragiketa sinpleak konbinatzen dituzte izan. modurik errazena irtenbide bat bilatzeko, negatiboak hurbil ugari egin baduzu. Ondoren erantzuna agertuko da berez balitz bezala.