Diagonal ekilateroa trapezio. Zer da erdiko trapezoid line. trapezioak motak. Trapezista - da ..

Trapezista - quadrangle bat, eta bertan aldeetan pare bat paraleloa da kasu berezi bat. Epe "trapezio" hitza Greek τράπεζα eratorritako, "mahai", "mahai" zentzua. Artikulu honetan trapezista eta bere propietate mota ikusiko dugu. Era berean, begira elementu indibidualak nola kalkulatu dugu geometriko figura. Adibidez, ekilateroa trapezio bat, erdiko lerroan, area eta besteen diagonalean. Materiala oinarrizko geometria popular style, t. E. jasotako baten eran erraz eskuratzeko ere.

Orokorra

Lehen, dezagun ulertzen zer quadrangle bat. Kopuru hori poligono bat lau alde eta lau erpinak izatea kasu berezi bat da. Bi poligono baten erpinak, ez diren aldameneko, kontrakoa izeneko. Gauza bera gertatzen da bi ez-ondoko aldeetan esan daiteke. quadrangles mota nagusia - a paralelogramo, rectangle, rhombus, plaza, trapezio eta deltoid.

Beraz trapezista itzuli. Esan bezala, zifra hori bi aldeak paraleloak dira. bases deitzen dira. Beste bi (ez-paralelo) - alboetan. hainbat azterketak eta azterketak materialak oso maiz trapezioak horren konponbidea sarritan ikaslearen ezagutzak ez programa estalita eskatzen lotutako erronkei aurre dezakezu. Ikastaroa geometria angelu propietate eta diagonalen baita mediana isosceles trapezoid baten lerroa ikasleen aurkezten. Baina hori baino beste aipatzen den forma geometriko bat beste ezaugarri ditu. Baina haiei buruzko geroago ...

mota trapezista

Kopuru hau mota asko daude. isoszelea eta angeluzuzena - Hala ere, gehienetan ohitura horietako bi kontuan hartu behar.

1. Angeluzuzena trapezio - figura bertan alboetan bat oinarri perpendikularra. bi angelu dira beti laurogeita hamar gradu berdina dauka.

2. isosceles trapezio - Irudi geometriko bat horren alde berdinak dira. Beraz, eta oinarrian angelu ere berdinak dira.

metodoen printzipio nagusiak trapezio propietate aztertzeko

oinarrizko printzipioak honako hauek dira zeregin hurbilketa deiturikoak erabilera. Izan ere, ez dago ikastaroa zifra hori propietate berriak geometria teoriko bat sartu beharrik. ireki edo hainbat zereginak (sistema hobea) formulatzeko prozesuan izan daitezke. Oso garrantzitsua da irakasle hori badakite zer zeregin ikasleen aurrean jarri edozein ikasketa prozesuaren une jakin batean behar duzu. Gainera, trapezio Jabetza bakoitzak zeregin sisteman zeregin gakoa gisa irudikatzen daiteke.

Bigarren printzipioa azterketa "nabarmenak" trapezista propietate antolatzea espiral deiturikoa da. Hau figura geometriko banakako ezaugarriak ikasteko prozesuan itzultzea dakar. Horrela, ikasleek errazago gogoratzeko. Adibidez, puntuetatik jabetza. It antzekotasuna ikerketan eta gerora bektore erabiliz frogatu ahal izango da. A triangelu Berdintasuna figura alboetan ondoan, posible da, alboetan horietako gezurra lerro zuzen baten gainean burututako berdinak altuerak dituzten triangelu propietate bakarra erabiliz frogatu, baina baita formula S = 1/2 (ab * sinα) erabiliz. Gainera, posible da lan egiteko sines legean inskribatuaren trapezio edo triangelu angeluzuzen eta trapezio t deskribatzen du. D.

"Kanpoko" erabilera Irudi geometriko bat eskola ikastaroaren edukiak ere ezaugarriek - a beren teknologia irakaskuntza tasking. erreferentzia konstante beste igarotzea propietateak aztertzeko aukera ematen die ikasleei trapezista sakonago ikasteko eta zeregin arrakasta bermatzen. Beraz, aurrera jarraitu figura nabarmenak honen azterketaren dugu.

Elementu eta propietate isosceles trapezoid baten

adierazi dugun bezala, figura geometriko honetan aldeak berdinak dira. Hala eskuin trapezio bat bezala ezagutzen da. Eta zer da hain nabarmena eta horregatik bere izena lortu? Kopuru honen ezaugarri berezia erlazionatzen aldeak berdinak ez bakarrik zuela eta oinarrian angelu, baina baita diagonalki. Gainera, isosceles trapezoid baten angelu guztien batura 360 gradu berdina da. Baina hori ez da guztia! Bakarrik inguruko isosceles dira ezagutzen trapezioak guztien biribilean bidez azaldu daiteke. Izan ere, kontrako angelu batura zifra hori duten 180 gradu da, eta baldintza bakarra honen pean egon quadrangle inguruan zirkulu bat bezala deskribatu daiteke ondorioz. Hurrengo irudian geometrikoak propietate da daukan base hau midline berdina izango da lerroan kontrajarriak gailur proiekzioa oinarri goitik distantzia hori.

Orain dezagun isosceles trapezoid bat txoko nola aurkitu zuen. Demagun Arazo honen konponbidea da, baldin eta alderdiek tamaina ezaguna duten figura.

Erabaki

fundazioa - ohiko quadrangle letrak A, B, C, D, non BS eta BP adierazteko da. isosceles trapezoid batean aldeak berdinak dira. suposatuko dugu, beren tamaina X berdina da eta Y dimentsio oinarriak eta Z (txikiagoan eta handiagoa da, hurrenez hurren) dira. beharra altuera H. Emaitza pasatzeko angelu kalkulatzeko, a triangelu angeluzuzen ABN da non AB - hipotenusaren eta BN eta AN - hankak. Kalkulatu hanka baten tamaina: the base handiago gutxieneko kendu, eta emaitza da 2. idazketa formula arabera banatzen da: / 2 = F. orain (Zy), akutua triangelu erabilera funtzioa cos angelu kalkulatzeko. Hurrengo sarrera eskuratu ditugu: cos (β) = X / F. Orain kalkulatu angelu: β = arcos (X / F). Gainera, txoko bat jakinda, zehaztu ahal izango dugu eta bigarrena, honen oinarrizko aritmetika eragiketa egiteko: 180 - β. Angelu guztiak definitzen dira.

Gainera, badago arazo honen bigarren irtenbide bat. At hasieran izkinan zehazten ez hanka altuera in N. BN balioa kalkulatzen du. Badakigu eskuineko triangelu baten hipotenusaren karratua duten beste bi aldeetan karratuen batura berdina da. lortuko dugu: BN = √ (X2 F2). Hurrengoa, trigonometrikoekin funtzioa tg erabiltzen dugu. Emaitza da: β = arctg (BN / F). baloia aurkitu da. Hurrengoa, kamutsa angelu bat definitzen dugun lehen metodoa bezala.

isosceles trapezoid baten diagonalen jabetzakoak

Lehenik eta behin, lau arauak idatzi dugu. diagonal isosceles trapezoid bat sartu perpendikularra, gero bada:

- Kopuru altuera oinarrien batura, bi arabera banatzen berdina da;

- bere altuera eta erdiko lerroan berdinak dira;

- trapezio baten inguruan altuera plazan (zentro line baseak erdira) berdina da;

- diagonalaren plazan oinarri edo midline (altuera) karratuko bi aldiz batura erdia berdina da.

Orain formula diagonal ekilateroa trapezio bat definitzeko begiratu. informazio zati hau lau zatitan banatu daiteke:

1. Formula diagonal luzera bere alboko bidez.

suposatuko dugu hori da - txikiagoa base bat, B - Top, C - aldeetan berdina, D - diagonal. Kasu honetan, luzera honela zehaztu daitezke:

D = √ (C 2 + * B A).

2. Formula diagonal kosinua luzera da.

suposatuko dugu hori da - txikiagoa base bat, B - Top, C - aldeetan berdina, D - diagonal, α (beheko oinarrian) eta β (goiko base) - trapezio txokoak. honako formula, horren bidez, inork diagonal luzera kalkulatu ahal lortu dugu:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formula diagonal isosceles trapezoid baten luzera.

suposatuko dugu hori da - txikiagoa base bat, B - goiko, D - diagonal, M - erdiko lerroa H - altuera, P - the trapezio, α-ko azalera du eta β - diagonalen arteko angelua. Zehaztu honako formula luzera:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Kasu honetarako, berdintasuna: sinα = sinβ.

4. Formula diagonal luzera alboetan eta altuera bidez.

A dela suposatuko dugu - txikiagoa base bat, B - Top, C - aldeetan, D - diagonal, H - altuera, α - beheko base batera angelu.

Zehaztu honako formula luzera:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementu eta propietate trapezio angeluzuzen baten

Dezagun zer figura geometriko hau interesatzen berean. esan dugun bezala, angeluzuzena trapezio bat dugu, bi angelu.

Definizio klasikoa gain, badira beste batzuk. Adibidez, angeluzuzena trapezio bat - trapezio bat, non albo batean base perpendikularra da. Edo forma alboko angelu izatea. trapezioak altuera mota honetan albo dela perpendikularra oinarriak da. Erdiko lerroa - bi aldeetan erdiko puntuak lotzen dituen segmentu bat. esan elementua jabetza da bases paralelo eta beren batura erdia berdina dela.

Orain kontuan hartu dezagun forma geometriko definitzen duten oinarrizko formulak. Horretarako, bere gain hartzen dugu A eta B - Base, C (base perpendikularra) eta D - erdiko lerroa, α - - baloia, P - eremua trapezio angeluzuzen, M aldeetan.

1. oinarriak, zifra bat altuera (C = N) berdina perpendikularra aldean, eta bigarren albo baten luzera eta angelu base handiago batean α da (C = * sinα A) sinua berdin. C = (A-B) * tgα: Gainera, angelu akutua α tangentea produktua eta oinarriak aldea berdina da.

2. albo D (ez base perpendikularra) A eta B eta kosinua (α) edo altuera pribatuei akutua Angelu baten aldea zatidura berdina zifrak H eta sine baloia: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. dela baseak perpendikularra aldean, aldea D plazan erro karratu berdina da - bigarren albo - eta plaza base ezberdintasunak:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

D = √ (C 2 + (A-B) 2): 4. Side trapezoid angeluzuzen batek albo karratua batura karratu bat eta C baseak geometrikoak forma aldea erro karratua berdina da.

C = P / M = 2P / (A + B): 5. albo C karratua bere oinarriak batura bikoitza zatidura berdina da.

P = M * N = M * C.: 6. produktu M (erdian angeluzuzena trapezio lerroa) altuera edo alboko norabidea definitzen eremua perpendikularra oinarriei

7. Kargua C forma karratu birritan zatidura produktua sine baloia eta bere oinarrien batura da: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formula trapezio angeluzuzen bat bere diagonal bidez, eta haien arteko angelua alde:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

non D1 eta D2 - trapezio baten diagonal; α eta β - haien arteko angelua.

A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα: 9. Formula beheko oinarria eta beste batzuetan angelu baten bidez alboko.

Geroztik angelu batekin trapezio du trapezio kasu zehatz bat da, kopuru horiek zehazten duten beste formula, betetzen du, eta laukizuzena.

propietateak incircle

Baldintza dagoela esaten badu angeluzuzena trapezio inskribatuta biribilean, orduan honako ezaugarriak erabili ahal izango duzu:

- oinarriaren zenbatekoa alboetan batura da;

- inskribaturik zirkulu tangency puntuetan forma angeluzuzena goialdean distantzia da beti berdina;

- trapezio altuera aldean berdina, perpendikularra oinarriak da, eta berdina da zirkuluaren diametroa du ;

- zirkulu erdian puntu horretan gurutzatzen da angelu bisectors ;

- Alboko kontaktu puntu aldean dago luzerak N eta M banatzen bada, orduan zirkuluaren erradioa segmentu horiek produktuaren erro karratuaren berdina da;

- quadrangle harremanetarako puntuen osatutako trapezio goialdean eta inskribatuta zirkulu erdian - karratu bat, eta horren albo erradioak berdina da da;

- Kopuru horren inguruan arrazoiaren produktuarekin eta oinarriak erdi batura bere altuera produktua da.

antzeko trapezista

Gai hau oso erabilgarria propietate aztertzen da irudi geometrikoak. Adibidez, diagonal zatitu lau hiruki sartu trapezio, eta antzekoak oinarrian ondoan daude, eta alboetan - berdintasunaren. Adierazpen hau deitu daiteke triangelu jabetza bat, hau da hondatutako trapezista bere diagonalen. Adierazpen honen lehenengo zatian bi txoko antzekotasuna ikurra bidez frogatu da. Bigarren zatian hobeto da emango ditugu metodoa erabili frogatzeko.

froga

Onartu figura ABSD hori (AD eta BC - trapezio oinarria) hautsita diagonalen HP eta AC da. - beheko oinarrian, BOS - Goiko base, ABO eta SOD alboetan AOC: - elkargunean puntua O. lau triangelu lortu dugu. Triangelu SOD eta biofeedback altuera bera dute, kasu horretan, BO eta LG segmentu bere oinarriak badira. aurkituko dugu, euren eremuetan (P) segmentu hauen aldea berdina aldea: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Ondorioz, PSOD = PBOS / K. Era berean, triangelu AOB eta biofeedback altuera komun bat. beren oinarri segmentu SB eta OA onartu. lortu dugu PBOS / PAOB = CO / OA = K eta PAOB = PBOS / K. honetatik jarraitzen duen PSOD = PAOB da.

To sendotzeko material ikasle animatu dira lortzen triangelu arlo arteko konexio bat, hondatutako trapezista bere diagonalen, hurrengo zeregina erabakitzeko da aurkitu. Jakina da triangelu BOS eta ADP arlo berdinak dira eta, beharrezkoa da trapezio baten inguruan aurkitu. PSOD = PAOB geroztik, orduan PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. hiruki BOS eta ANM antzekotasuna aurrera jarraitzen BO hori / LG = √ (PBOS / PAOD). Ondorioz, PBOS / PSOD = BO / LG = √ (PBOS / PAOD). Eskuratu PSOD = √ (* PBOS PAOD). Ondoren PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

propietate antzekotasuna

Gai hau garatzeko jarraituz, posible da frogatzeko, eta beste trapezioak ezaugarriak interesgarria. Beraz, antzekotasuna jabetza segmentuan, eta horrek figura geometriko diagonalen elkargunean osatutako puntua igarotzen frogatu ahal laguntzarekin, lurrean paralelo. Horretarako honako arazoa konponduko dugu: beharrezkoa da luzera RK segmentu hori O. puntua triangelu ADP eta SPU antzekotasuna aurrera igarotzen aurkitu diren AO / OS = AD / BS jarraitzen du. hiruki ADP eta ASB antzekotasuna aurrera jarraitzen AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS) dela. Horrek esan BS dela * PO = AD / (AD + BC). Era berean, triangelu MLC eta ABR antzekotasuna etatik OK hori * BP = BS / (BP + BS) jarraitzen du. Horrek esan OC eta RC = RC = 2 * BS hori * AD / (AD + BC). Segment elkargunean diagonalen oinarriaren paraleloa puntua pasatzen eta bi aldeak lotzen, elkargunean puntua erditik zatitu. Bere luzera - harmoniko arrazoi zifra batez bestekoa da.

Demagun honako trapezio bat, lau puntu jabetza deritzo ezaugarriak. diagonalen (D) elkargunean puntua, alboetan (E), baita erdialdean oinarrien (T eta G) jarraipena elkargunean beti gezurra lerro berean. Erraza da antzekotasuna metodoa frogatzeko. ondorioz triangelu antzekoak BES eta AED, eta bakoitzak mediana ET eta DLY zatitzea erpina angelu E zati berdinetan barne daude. Hori dela eta, puntu E, T eta F lerrokideak dira. Era berean, lerro berean daude T, O dagokionez antolatuta, eta G. Hau triangelu BOS eta ANM antzekotasuna eratorria da. E, T, O eta F - - dizu gezurra lerro zuzen baten gainean Hori dela lau termino guztiek ondorioztatu dugu.

Antzeko trapezioak erabiliz, ahal ikasleei eskaini ahal segmentuan (LF), eta horrek figura bitan banatzen bezala sartu luzera aurkitzeko. Ebaki honek baseak paralelo izan behar da. jaso trapezio ALFD LBSF zenetik eta antzeko da, BS / LF = LF / AD. Horrek esan LF hori = √ (BS * BP). segmentu horretan bi bezalako trapezio zatitzen duten luzera oinarriak luzerak irudikatu batezbesteko geometrikoa berdina du ondorioztatu dugu.

Demagun honako jabetza antzekotasuna. Da trapezio banatzen bi tamaina bereko zatitan segmentu oinarritzen da. Onartu trapezista ABSD segmentu hori antzeko bi EH banatuta. B goitik jaitsi segmentu hori altuera bi zatitan EN banatzen - B1 eta B2. Lortu PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Aurrerago sistema, konposatzen dua lehen ekuazioa (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 eta bigarren (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. It jarraitzen duen B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) eta BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). aurkituko dugu bi berdin, batezbestekoa quadratic baseak luzerak berdinak on trapezio zatituko luzera duten: √ ((CN2 + aq2) / 2).

antzekotasuna ondorioen

Hala, frogatu dugu hori:

1. segmentua alboko alboetan trapezio erdian lotzen, BP eta BS paralelo eta BS da aritmetika esan eta BP (base trapezio baten luzera).

2. barrak puntua diagonalen AD paralelo eta BC elkargunean O pasatzen harmoniko besteko zenbakiak BP eta BS berdina izango da (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. segmentua antzeko trapezio hautsi a luzera geometriko besteko baseak BS eta BP du.

4. forma banatzen bi tamaina bereko sartu elementua, luzera esan plazan zenbakiak BP eta BS.

materiala eta kontzientzia ikaslearen segmentu arteko loturak of sendotzea beharrezkoa da horiek eraikitzeko trapezio espezifikoa da. Zifra diagonalen elkargunean - - paralelo lurrera erraz batez besteko line eta hori puntu igarotzen segmentu erakutsi ahal izango du. Baina non hirugarren eta laugarren izango da? Erantzun hau ikaslea eramango batez besteko balioen arteko erlazioa ezezagunaren aurkikuntza.

Segment trapezio baten diagonalen erdiko puntuak batu

Demagun ondoko irudian jabetzakoak. onartzen dugu segmentu MN dela baseak paralelo eta erditik zatitzen diagonalki. ebaki-puntuak deitzen da W eta S. segmentu honek ezberdintasuna arrazoia erdia berdina izango da. Azter dezagun hau xehetasun gehiago. MSH - bataz triangelu ABS lerroa, BS / 2 berdina da. Minigap - erdiko triangelu DBA lerroa, AD / 2 berdina da. Ondoren, aurkitu dugun SHSCH = minigap-MSH beraz SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

grabitatearen zentro

Dezagun elementua nola definitu jakin baten figura geometriko at. Horretarako, norabide kontrakoa oinarria zabaltzeko behar duzu. Zer esan nahi du? Beharrezkoa da, oinarri gehitzeko goiko behera - alderdietako edozeinek, adibidez, eskuinean. A txikiagoa luzatzeko goiko ezkerreko luzera. Hurrengoa, konektatzen duenean diagonal. zentroko figura lerro batera segmentu honen elkargunean puntua trapezio larritasuna zentroa da.

Inskribatuta eta deskribatu trapezista

Dezagun zerrenda figura horien ezaugarriak:

1. Linea zirkulu bat isosceles bada soilik inskribatuta daiteke.

2. zirkuluaren inguruan izango trapezio bat bezala deskribatu daiteke, baldin eta bere oinarriak luzerak batuketa hori alboetan luzerak batura da.

inskribatuaren zirkulu ondorioak:

1. trapezio altuera deskribatu beti erradioak birritan berdina.

2. deskribatu trapezio aldean dago perpendikular zirkuluaren erdian ikusita.

Lehenengo ondorioa begien bistakoa da, eta bigarrena, derrigorrezkoa da SOD angelu zuzeneko da ezartzea, hau da, hain zuzen ere, era berean, ez da erraza izango frogatzeko. Baina jabetza hori ezagutza ahalbidetzen eskuineko triangelu bat erabili duzu arazoak konpontzeko.

Orain isosceles trapezoid, den zirkulu batean inskribatuta ondorioak zehaztu dugu. lortu dugu altuera dela geometriko besteko zifra baseak da: H = 2R = √ (BS * BP). trapezioak egiteko arazoak (bi altuera printzipioa) konpontzera oinarrizko metodoa betetzea, ikasleak honako zeregin konpontzeko behar. Onartu BT hori - isosceles altuera zifrak ABSD. AT eta AP tarte aurkitu behar duzu. gainetik, egin egingo da azaldutako formula aplikatuz, ez da zaila.

Orain utzi zirkuluaren erradioa zehazten nola eremutik deskribatu trapezio azaldu digu. oinarri BP on B goi altuera zehazten. zirkuluaren trapezio inskribatuta geroztik, BS + 2ab = BP edo AB = (BS + BP) / 2. triangelu ABN aurkitu sinα aurrera = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Lortu PABSD = (BP + BS) * R egiten jarraitzen duen R = PABSD / (AD + BC).

.

Formula guztiak Midline trapezista

Orain denbora figura geometriko horren azken elementua joan da. ulertzen dugu, zer erditik trapezio da (M) lerroa da:

1. baseak bidez: M = (A + B) / 2.

2. altuera, base eta txoko ondoren:

• M-H = * A (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. altuera eta diagonal angelu therebetween bidez. Adibidez, D1 eta D2 - trapezio baten diagonal; α, β - haien arteko angelua:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. area eta altuera barruan: M = R / N.