Mugagabea integral. integral mugagabea Konputazio

analisi matematiko oinarrizko atal bat kalkulu integrala. mugagabea integral da - objektuak, non lehenengo eremuan oso zabala hartzen du. Kargua dela oraindik batxilergoko gako bat irtenbideak eta aukerak kopurua handituz, eta horrek matematika goi deskribatzen agerian uzten nabarmentzen da.

itxura

Lehen begiratuan, erabat modernoa, gaurkotasun integral dirudi, baina praktikan bihurtzen da atzera 1800. urtean etorri zela Ka. Hasiera ofizialki jotzen Egipton bezala ez iristea gurekin lehenago bere existentziaren froga. It informazio eza dela, berriz, guztiak kokatu besterik fenomeno gisa. He berriro ere garai hartako herrien garapen zientifiko-maila berresten du. Azkenik, obrak aurkitu ziren antzinako Greziako matematikariek, Ka 4. mendekoa. erabili beharreko metodoa non mugagabea integral, bertan esentzia zen bolumena edo area mugimenduetara forma baten (hiru dimentsioko eta bi dimentsioko plano, hurrenez hurren) aurkitu deskribatuko dute. Kalkulu jatorrizko infinitesimala osagaiak sartu figura zatiketa printzipioa oinarritzen da, baldin eta bolumena (area) aurretik haiei ezaguna da. Denborarekin, metodoaren hazi, Arkimedes erabiliko da parabola baten inguruan aurkitu. aldi berean antzeko kalkuluak ariketak egiteko antzinako Txina, non ikaskide Greziako zientzia erabat independenteak ziren ere.

garapena

XI mendean hurrengo aurrerapauso arabiar jakintsu lana bihurtu da "bagoi" Abu Ali al-Basri, nor mugak lotu du dagoeneko ezaguna, zenbatekoak eta gradu laugarrena den lehenengo zenbatekoak kalkulatzeko, hau gurekin ezagutzen eskatzeko formula integral eratorritako ziren indukzio-metodoa.
Gaurtik Minds miresten dira antzinako egiptoarrek monumentu harrigarriak sortutako edozein tresna bereziak gabe, bere eskuetan dagoela ezik, baina ez da boterea denbora gutxiago ez mirari bat zientzialari ero bat? Egungo euren bizitza aldiz alderatuta, badirudi ia primitibo, baina integralak mugagabea erabakia nonahi ondorioztatu eta praktikan erabiltzen garapen gehiagorako.

Hurrengo pausoa ospatu XVI mendean, noiz Italiako matematikari Cavalieri ekarri zatiezina metodoa, bertan bildu Per Ferma. bi nortasun horiek ezarritako fundazioaren kalkulu integral moderno, hau da, une horretan ezaguna da. desberdintzea eta integrazio kontzeptuak, Lehen auto-jasotako unitateak gisa ikusten lotuta dute. Eta handiak, garai hartako matematika zatikatua partikula aurkikuntzak berez existitzen, erabilera mugatua izan zen. Bidea batzeko eta komunean aurkitu zen bakarrik benetako une, berari esker, modernoa analisi matematiko aukera hazteko eta garatzeko izan.

Denboraren poderioz, dena eta ikurra integral baita aldatzen. Eta handiak, izendatutako zen zientzialari nork bere erara, adibidez, Newton plazan ikono bat da, eta horrek integragarriak funtzio bat jarri, edo, besterik gabe bildu erabiltzen. desberdintasuna honek XVII mendean, matematiko analisi zientzialari Gotfrid Leybnits teoria osoarentzako mugarri bat, besteak beste pertsonaia bat gurekin ezagunak sartu arte iraun zuen. Luzatua "S" benetan oinarritzen da eskutitz honetako erromatar alfabetoa, primitiboak batura adierazten zenetik. integral izena lortzen eskerrik Jakob Bernoulli, 15 urte igaro ondoren.

definizio formalak

mugagabea integral aintzinako definizioa araberakoa izango da, beraz, kontuan hartu ditugu lehenik.

Jatorrizko - alderantzizko eratorria funtzioa, praktikan da primitibo deitzen da. Bestela: d funtzio primitiboak - funtzioa D bat, eratorri v <=> V '= v da. Search primitibo mugagabea integral kalkulatzeko, eta prozesua bera integrazio deritzo.

Adibidez:

funtzioak s (y) = y ^3, eta bere primitibo S (y) = (y ^4/4).

funtzioaren primitiboak guztien multzoa - hau da, mugagabea integral bat, honela adierazten da bertan: ∫v (x) dx.

Izan ere, V (x) indarrez dira - original batzuk primitiboak funtzioa soilik, adierazpen dauka: ∫v (x) dx = V (x) + C, non C - konstante. arbitrarioa etengabeko Under etengabeko edozein dagokio, bere eratorriak zero da geroztik.

propietate

mugagabea integral jabetu propietate, funtsean oinarritutako definizioa eta eratorriak propietate on.
Demagun puntu nagusiak:

• primitibo eratorria integral primitibo bera gehi hautazko konstante C <=> ∫V da '(x) dx = V (x) + C;
• funtzio baten integral eratorria jatorrizko funtzioa <=> (∫v (x) dx) 'is = v (x);
• etengabeko hartuta dago out from the zeinu integral <=> ∫kv (x) pean dx = k∫v (x) dx, non k - arbitrarioa da;
• integral, hau da berdin berdinak batura hartutako integralak batura <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy da.

Azken bi propietate ondorioztatu daiteke mugagabea integral hori lineala da. Horregatik, ez dugu: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

soluzio mugagabea integralak konpontzen adibide ikusteko.

the ∫ integral (3sinx + 4cosx) dx aurkitu behar duzu:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Adibidez aurrera ez duzula jakin nola mugagabea integralak konpontzeko ondoriozta dezakegu? Just aurkitu primitiboak guztiak! Baina bilaketa printzipioak beheko eztabaidatu.

Metodoak eta adibideak

Ordena integral konpontzeko asmoz, metodo hauek jotzea daiteke:

• Prest mahai aprobetxatu da;
• integratzeko zatiak eginez;
• aldakorreko ordez integratuta;
• laburbilduz diferentziala seinale pean.

taulak

errazena eta atsegina modu. Momentu honetan, analisi matematiko taulak oso zabala da, eta horrek idatzita integral mugagabea oinarrizko formula harro. Bestela esanda, badira eratorritako eman nahi txantiloiak eta abantaila bakarra hartu ahal horietako. Hemen taula posizioak nagusia, hau bistaratu daiteke ia kasu guztietan zerrenda da, irtenbide bat du:

• ∫0dy = C, non C - konstante;
• ∫dy = y + C, non C - konstante;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, non C - konstante bat, eta n - kopurua batasun ezberdinak izatea
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, non C - konstante;
• ^{∫e y dy = e y + C} , non C - konstante;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, non C - konstante;
• ∫cosydy = siny + C, non C - konstante;
• ∫sinydy = -cosy + C, non C - konstante;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, non C - konstante;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, non C - konstante;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, non C - konstante;
• ∫chydy = lotsati + C, non C - konstante;
• ∫shydy = Chy + C, non C - konstante.

Beharrezkoa izanez gero, egin urrats pare bat eramango integrakizuna taula ikuspegi bat eta garaipena gozatzeko. ADIBIDEA: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Erabaki horren arabera argi dago adibidez, mahai integrakizuna bat falta biderkatzailea 5. gehitu dugu paraleloan biderkatzailea honekin 1/5 by adierazpen orokorrari ez zen aldatu.

Integrazio piezak arabera

Demagun bi funtzio - z (y) eta x (y). Etengabe bere domeinu on diferentziagarria izan behar dute. desberdintzea propietate bat ere izan dugu: d (XZ) = XDZ + zdx. bi aldeetan integratzea, lortu dugu: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: ondorioz, ekuazio berridazketa, formula, eta horrek integrazio metodoa zati moduan deskribatzen lortuko dugu.

Zergatik da beharrezkoa? Izan ere, adibide posible errazteko dela batzuk, demagun, ∫zdx ∫xdz murrizteko, bigarrenak taula inprimakia hurbil bada. Halaber, formula hau erabili ahal izango da, behin baino gehiagotan, emaitzak optimizatzeko.

Nola mugagabea integralak konpontzeko modu honetan:

• ∫ (k + 1) e ^2s ds kalkulatzeko beharrezkoa

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((k + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• ∫lnsds kalkulatu behar

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

aldakorreko ordez

mugagabea integralak konpontzen printzipioa honek ez eskaria aurreko bi baino gutxiago, korapilatsu arren daude. Metodo honako hau da: dezagun V (x) - funtzioa v batzuk (x) integrala. ekitaldia bera ere slozhnosochinenny Adibidea integral dator ere, litekeena nahastu lortzeko eta jaisten okerreko bidea irtenbide bat da. aldagai x-tik praktika aldaketa hori z egiteko, bertan adierazpen orokor ikusmen sinplifikatu bitartean z x arabera mantentzea saihesteko.

Termino matematiko batean, hau da, honela: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), non x = y ( z) - zelairatzea. Eta, jakina, alderantzizko funtzioa z = y ^-1 (x) guztiz harremana eta aldagai harremana deskribatzen du. Garrantzitsua ohar - diferentziala dx du zertan diferentziala dz berri batekin ordezkatu, aldagai-aldaketa mugagabea integral geroztik dakar ordeztu nonahi, eta ez bakarrik integrakizuna da.

Adibidez:

• aurkitu behar ∫ (k + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Aplikatu ordezkapen z = (k + 1) / (s ² + 2s-5). Ondoren dz = 2sds = 2 + 2 (k + 1) ds <=> (k + 1) ds = dz / 2. Ondorioz, honako adierazpen, oso erraz kalkulatzeko:

∫ (k + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• aurkitu behar dituzu integral ∫2 ^s e ^s dx

Hurrengo formularioa berridazketa konpontzen To:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

adierazteko a = 2e by dugu (argumentua urrats hau ez da ordez, oraindik k), emango dugu gure itxuraz korapilatsu integral oinarrizko taula osatzeko:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = s a / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^z / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^z / (ln2 + 1) + C.

Laburbilduz zeinu diferentziala

Eta handiak, integral mugagabea metodo hau - aldagai-aldaketa printzipioa anaia bikiak, baina badira matrikula prozesuan aldeak. Dezagun kontuan hartu xehetasun gehiago gurekin.

Bada ∫v (x) dx = V (x) + C eta y = z (x), orduan ∫v (y) dy = V (y) + C.

Aldi berean, ez dugu ahaztu behar trivial transformazio integral, horien artean:

• dx = d (x + a), eta dua - konstante bakoitzean;
• dx = (1 / a) d (ax + b), non bat - konstante berriro, baina ez zero;
• xdx = 1 / 2an (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

kasu orokorra non mugagabea integral kalkulatu ditugu kontuan hartuz gero, adibide ezin formula orokorra w '(x) dx = DW (x) subsumiturik daiteke.

adibideak:

• aurkitu behar ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2an (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.

Online laguntza

Kasu batzuetan, horren errua bihur daiteke edo nagikeriaren, edo premiazkoagoa, online eskatuz baizik erabili ahal izango duzu, edo, kalkulagailu bat erabili mugagabea integralak. itxurazko konplexutasuna eta integralak izaera polemikoa izan arren, erabakia beren algoritmoa zehatz, zein da "ez baduzu ... orduan ..." printzipioa oinarritzen gaia.

Jakina, bereziki korapilatsu esaterako kalkulagailu bat adibide bat izango ez menderatzea, ez dira kasu horietan erabaki bat dauka bat artifizialean "behartu" prozesuan zenbait elementu sartuz aurkitzeko, emaitzak iritsi bistako modu daudelako. Adierazpen honen izaera polemikoa izan arren, egia da, matematika bezala, printzipioz, zientzia abstraktu bat, eta bere helburu nagusia beharra mugak indartu jotzen. Izan ere, a leun run-en teoriak oso zaila da gora eta eboluzionatzen, beraz, ez du bere gain hartzen mugagabea integralak konpontzen adibide, eta horrek eman digu - honek aukera altuera da. Baina gauzak alde teknikoak itzuli. Gutxienez kalkuluak egiaztatzeko berean, zerbitzua bertan iezaguzu idatzi zen erabili ahal izango duzu. Han bada espresio konplexuak kalkulatzeko automatikoaren beharra dago, orduan ez dute software larria jotzea. arreta behar nagusiki ingurumena MatLab orrian.

aplikazio

Lehen begiratuan integral mugagabea erabakia errealitatetik erabat askatuta badirudi, zaila da bistako planoan erabilera ikusteko delako. Izan ere, zuzenean erabili horiek edozein lekutan ezin duzu, baina praktikan erabilitako konponbideak erretiratzea prozesuan tarteko beharrezko elementu bat dira. Horrela, atzera desberdintzea integrazioa, beraz, aktiboki ekuazioak ebazteko prozesuan parte hartzen.
azken batean, oraina eta etorkizuna konformazio osatzen dena - Bestalde, ekuazio horiek arazo mekanikoak, ibilbidea kalkulua eta eroankortasun termiko erabakia eragin zuzena dute. horietako batez jotzen ditugu, baina hasiera batean trivial, oinarri gisa mugagabeak integral, adibide gero eta gehiago aurkikuntza berriak egiteko.